Question

设函数f（x）=|x²-2x|（x∈R）．
（1）在区间[-2，3]上画出函数f（x）的图象；
（2）根据图象写出该函数在[-2，3]上的单调区间；
（3）方程f（x）=a有两个不同的实数根，求a的取值范围．（只写答案即可）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=|x²-2x|的图象由函数f（x）=x²-2x做一次纵向对折变换得到，结合二次函数的图象和性质，及函数图象的对折变换，可得区间[-2，3]上画出函数f（x）的图象；
（2）根据图象上升对应函数的单调增区间，图象下降对应函数的减区间，可得函数在[-2，3]上的单调区间；
（3）方程f（x）=a的根的个数，即为函数f（x）=|x²-2x|的图象与y=a交点的个数，结合函数的图象可得满足条件的a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=|x²-2x|的图象由函数f（x）=x²-2x做一次纵向对折变换得到，
故函数的图象如下图所示：

…（7分）
（2）由（1）中函数f（x）=|x²-2x|的图象可得：
函数的单调增区间为[0，1]，[2，3]
函数的单调减区间为[-2，0]，[1，2]…（11分）
（3）方程f（x）=a的根的个数，即为函数f（x）=|x²-2x|的图象与y=a交点的个数，
由图象可知当a=0或a＞1时，函数f（x）=|x²-2x|的图象与y=a有两个交点，
即方程f（x）=a有两个实数根．…（14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次函数的图象和性质，及函数图象的对折变换，画出函数的图象是解答的关键．