Question

已知梯形中，∥，，

，、分别是、上的点，∥，．

沿将梯形翻折，使平面⊥平面(如图)．是的

中点，以、、、为顶点的三棱锥的体积记为．

（1）当时，求证：⊥ ；

（2）求的最大值；

（3）当取得最大值时，求异面直线与所成的角的余弦值．

Answer 1

（法一）（1）证明：作，垂足，连结，，

∵平面平面，交线，平面，

∴平面，又平面，故，

∵，，．

∴四边形为正方形，故．

又、平面，且，故平面．

又平面，故．  

（2）解：∵，平面平面，交线，平面．

∴面．又由（1）平面，故，

∴四边形是矩形，，故以、、、为顶点的三棱

锥 的高，

又．

∴三棱锥的体积

．    

∴当时，有最大值为．

（3）解：由（2）知当取得最大值时，故，

由（2）知，故是异面直线与所成的角．

在中，

由平面，平面，故

在中

，

∴．

∴异面直线与所成的角的余弦值为．

法二：（1）证明：∵平面平面，交线，平面，，故⊥平面，又、平面，

∴⊥，⊥，又⊥，取、、分别为轴、

轴、轴，建立空间坐标系，如图所示．

当时，，，又，．

∴，，，，．

∴，，

∴．

∴，即；　 

（2）解：同法一；

（3）解：异面直线与所成的角等于或其补角．

又， 故

∴，故异面直线与所成的角的余弦值为．