Question

【题目】已知函数．

(1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；

(2)判断函数的单调性；

(3)解不等式.

Answer 1

【答案】（1）是定义在上的奇函数；（2）在其定义域上是增函数；（3）.

【解析】试题分析：（1）化简函数的即解析式为，求得函数的定义域为，再根据，可得函数是定义在上的奇函数；（2）设利用作差证明即可；（3）先判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性、单调性、得到关于 的不等式，解不等式即可得结果.

试题解析：(1) ∵，∴ ，∴的定义域为.

∵的定义域为,

又 ，

∴，　

∴是定义在上的奇函数．

(2) 任取,且,则

，

∵，∴，

∴，又， ，

∴，∴，

∴函数在其定义域上是增函数．

(3) 由得.

∵函数为奇函数，

∴，∴．

由(2)题已知函数在上是增函数.

∴ ，∴．

∴不等式的解集为.

【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、函数的单调性的应用，属于难题.根据函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不等掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.