Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为， ， 分别为椭圆的上顶点和右焦点， 的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为.

（1）求直线的斜率；

（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点， ，且与直线交于点，求证：存在常数，使得.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在常数

【解析】试题分析：(1)由题意得到椭圆的方程为. 直线的方程为，联立消去得，从而得线段的中点 ，进而得到直线的斜率；(2) 设直线的方程为. 联立方程得到同理得到

，∴存在常数，使得.

试题解析：

（1）因为椭圆的离心率为，所以，即， ，

所以， ，所以，所以，所以椭圆的方程为.

直线的方程为，联立消去得，所以或，

所以，从而得线段的中点.

所以直线的斜率为.

（2）由（1）知，直线的方程为，直线的斜率为，设直线的方程为.

联立得所以点的坐标为.

所以， .

所以.

联立消去得，

由已知得，又，得.

设， ，则， ，

， .

所以 ，

，

故 .

所以.所以存在常数，使得.