Question

【题目】设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)设与轴正半轴的交点为，过点的直线的斜率为，与交于另一点为.若以点为圆心，以线段长为半径的圆与有4个公共点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】试题分析：（1）利用相关点法求出的方程；（2）由得，设，，，则点的轨迹方程为，

由，得，()(*)依题意得，(*)式关于的方程在有两个不同的实数解，利用二次函数有关知识即可求出的取值范围.

试题解析：

(1)设点，，则，

因为，所以，所以，解得，

由于点在圆上，所以，

所以点的轨迹的方程为.

(2)由(1)知，的方程为，因为直线.

由得，

设，，因此，，

，

则点的轨迹方程为，

由，得，()(*)

依题意得，(*)式关于的方程在有两个不同的实数解，

设，

因为函数的对称轴为，

要使函数的图象在与轴有两个不同的交点，

则，

整理得：，即，

所以.

解得，

所以的取值范围为