题目内容
设正数数列{an} 的前n项和为 Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整数m，使得不等式Sn-1005＞
对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整数m，使得不等式Sn-1005＞
| an2 | 2 |
分析：（1）根据Sn是an2和an的等差中项，可得2Sn=an2+an，且an＞0，再写一式，当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1，两式相减，化简可得an-an-1=1（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故求数列{an} 的通项公式；
（2）利用Sn-1005＞
，求得n＞2010，从而M={2010，2012，…，2998}，这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列，由此可得集合M中满足条件的正整数m的个数．
（2）利用Sn-1005＞
| an2 |
| 2 |
解答：解：（1）由已知，∵Sn是an2和an的等差中项，∴2Sn=an2+an，且an＞0．
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1．
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1．
于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1，即2an=an2-an-12+an-an-1，
∴an2-an-12=an+an-1，即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1．
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1（n≥2）．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）∵an=n，∴Sn-1005＞
，得
-1005＞
，∴
＞1005，∴n＞2010．
由题设，M={2010，2012，…，2998}，
因为m∈M，所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中满足条件的正整数m共有495个，满足条件的最小正整数m的值为2010．
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1．
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1．
于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1，即2an=an2-an-12+an-an-1，
∴an2-an-12=an+an-1，即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1．
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1（n≥2）．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）∵an=n，∴Sn-1005＞
| an2 |
| 2 |
| n(n+1) |
| 2 |
| n2 |
| 2 |
| n |
| 2 |
由题设，M={2010，2012，…，2998}，
因为m∈M，所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中满足条件的正整数m共有495个，满足条件的最小正整数m的值为2010．
点评：本题主要考查等差数列的性质，特别是等差数列的通项公式，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
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