Question

正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且2

Sn

=an+1．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

an•an_+1

，{b_n}的前n项和为T_n，若对一切正整数n都有T_n＜m，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a_n＞0，2

Sn

=an+1，知4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，知Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，由此能求出m的最小值．

解答：解：（1）∵a_n＞0，2

Sn

=an+1，
∴4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
则当n≥2时，
4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
而a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
又2

S1

=a1+1，
∴a₁=1，则a_n=2n-1
（2）bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，m≥

1

2

．
所以m的最小值是

1

2

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列递推公式的合理运用．