题目内容
正数数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对于任意的正整数n，都有| tSn |
| t+an |
| 2 |
| lim |
| n→+∞ |
| ||
| an |
分析：先求出数列的首项，然后利用递推关系求出an与Sn，代入
，从而得到
＜t，解之即可求出所求．
| lim |
| n→+∞ |
| ||
| an |
| ||
| 2t |
解答：解：
=
a12+2ta1+t2=4ta1
∴a1=t
∵
=
∴an2+2tan+t2=4tSn
则an-12+2tan-1+t2=4tSn-1
（an+an-1）（an-an-1-2t）=0
∴an=（2n-1）t
∴Sn=n2t即
=n
=
=
＜t
∴t3＞
即t∈(
，+∞)
故答案为：(
，+∞)
| a1+t |
| 2 |
| tS1 |
a12+2ta1+t2=4ta1
∴a1=t
∵
| tSn |
| t+an |
| 2 |
∴an2+2tan+t2=4tSn
则an-12+2tan-1+t2=4tSn-1
（an+an-1）（an-an-1-2t）=0
∴an=（2n-1）t
∴Sn=n2t即
| Sn |
| t |
| lim |
| n→+∞ |
| ||
| an |
| lim |
| n→∞ |
n
| ||
| (2n-1)t |
| ||
| 2t |
∴t3＞
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| ||
故答案为：(
| 3 |
| ||
点评：本题主要考查了数列求通项和求和，同时考查了数列的极限，是一道综合题，属于难题．
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