Question

13．在△ABC中，已知sin（A+B）=sinB+sin（A-B）．
（1）求∠A；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=20，求|$\overrightarrow{BC}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sinB不为0，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
（2）由条件利用两个向量数量积的定义求得AB•AC=40，再利用余弦定理、基本不等式，求得|$\overrightarrow{BC}$|的最小值．

解答 解：（1）原式可化为：sinB=sin（A+B）-sin（A-B）
=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
∵B∈（0，π），∴sinB＞0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∴∠A=60°．
（2）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=20，∴AB•AC•cos∠A=20，AB•AC=40．
则|$\overrightarrow{BC}$|=BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}-2AB•AC•cos60°}$≥$\sqrt{2AB•AC-AB•AC}$=$\sqrt{AB•AC}$=2$\sqrt{10}$，当且仅当AB=AC时，取等号，
即△ABC为等边三角形时，|$\overrightarrow{BC}$|取得最小值为2$\sqrt{10}$．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式、平面向量的数量积运算法则，以及余弦定理、基本不等式的应用，熟练掌握公式及法则是解本题的关键，属于中档题．