Question

数列{a_n}满足a_n＞0，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），求S₁，S₂，猜想S_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数列{a_n}满足的递推关系a_n＞0，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），可求得S₁，S₂，从而可猜想S_n，利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：∵a_n＞0，∴S_n＞0，由S₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），变形整理得S₁²=1，取正根得S₁=1．
由S₂=

1

2

（a₂+

1

a2

）及a₂=S₂-S₁=S₂-1得S₂=

1

2

（S₂-1+

1

S2-1

），
变形整理得S₂²=2，取正根得S₂=

2

．同理可求得S₃=

3

．由此猜想S_n=

n

．
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，上面已求出S₁=1，结论成立．
（2）假设当n=k时，结论成立，即S_k=

k

．
那么，当n=k+1时，S_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

）=

1

2

（S_k+1-S_k+

1

Sk+1-Sk

）=

1

2

（S_k+1-

k

+

1

Sk+1- k

），
整理得S_k+1²=k+1，取正根得S_k+1=

k+1

．
故当n=k+1时，结论成立．
由（1）、（2）可知，对一切n∈N^*，S_n=

n

成立．

点评：本题考查数列的递推关系的应用，着重考查数学归纳法的应用，猜想S_n=

n

是关键，考查计算、猜想及推理论证的能力，属于中档题．