Question

已知函数f（x）=x+

1

x

，
（1）判定函数f（x）的奇偶性；
（2）讨论函数f（x）在区间（-∞，-1]上的单调性；
（3）求函数f（x）在区间[2，4]上的最值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判定函数f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可讨论函数f（x）在区间（-∞，-1]上的单调性；
（3）利用函数单调性的性质求函数f（x）在区间[2，4]上的最值．

解答： 解：（1）函数的定义域为{x|x≠0}，
则f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），则f（x）是奇函数．
（2）设x₁＜x₂≤-1，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-x₂-

1

x2

=（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

，
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
则f（x）是单调增函数．
（3）由（2）可以证明函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，
∴y_max=f（4）=4+

1

4

=

17

4

y_min=f（2）=2+

1

2

=

5

2

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．