题目内容

数列{an}满足：na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1（n=1，2，3，…，）．
（1）求an的通项公式；
（2）若bn=-（n+1）an，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有bn≤bk成立？证明你的结论．
分析：（1）由数列{an}满足的条件na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
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+1，根据递推可得（n-1）a1+（n-2）a2+…+an-1=(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1，两式相减得到Sn，从而求出an的通项公式；
（2）设存在自然数k，使对n∈N，bn≤bk恒成立，根据bn+1-bn的表达式易得当n＜8时，bn+1＞bn，当n=8时，bn+1=bn，当n＞8时，bn+1＜bn故得解．
解答：解：（1）由na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1，
得，（n-1）a1+（n-2）a2+…+an-1=(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1两式相减，
得a1+a2+…+an=(
9
10
)n-1=Sn
∴当n=1时，a1=S1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-
1
10
(
9
10
)n-2
即an=
1        ，n=1
-
1
10
(
9
10
)n-2，n≥2

（2）由（1）得bn=-(n+1)an=
-2          ，n=1
n+1
10
(
9
10
)n-2，n≥2

设存在自然数k，使对n∈N，bn≤ck恒成立
当n=1时，b2-b1=
23
10
＞0⇒b2＞b1
当n≥2时，bn+1-bn=(
9
10
)n-2•
8-n
100
，
∴当n＜8时，bn+1＞bn
当n=8时，bn+1=bn，当n＞8时，bn+1＜bn
所以存在正整数k=8或9，使对任意正整数n，均有b1＜b2＜…＜b8=b9＞b10＞b11＞…，
从而存在正整数k8或9，使得对于任意的正整数n都bn≤bk成立
点评：本题主要考查数列的性质及其应用，同时考查了作差比较法和数列与不等式的综合，以及计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若数列{an}满足前n项之和Sn=2an-4（n∈N*），bn+1=an+2bn，且b1=2．
（1）求证数列{
bn2n
}为等差数列；  （2）求{bn}的前n项和Tn．
设数列{an}满足当n＞1时，an=
an-1
1+4an-1
，且a1=
1
5
．
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．
（2013•河池模拟）若数列{an}满足前n项和为Tn=n2-
1
2
n．
（1）求数列{
an
2n
}的前n项和Sn；
（2）设数列{bn}满足条件：b1=2，bn+1≥abn，求证：
1
2b1-3
+
1
2b2-3
+
1
2b3-3
+…+
1
2bn-3
＜2．
数列{an}中，若存在常数M，?n∈N*，均有|an|≤M，称数列{an}是有界数列；把Ln=
ni=1
|ai+1-ai|(n∈N*)叫数列{an}的前n项邻差和，数列{Ln}叫数列{an}的邻差和数列．
（1）若数列{an}满足，?n∈N*，均有|an+3|+|an-1|≤6恒成立，试证明：{an}是有界数列；
（2）试判断公比为q的正项等比数列{an}的邻差和数列{Ln}是否为有界数列，证明你的结论；
（3）已知数列{an}、{bn}的邻差和{Ln}与{L'n}均为有界数列，试证明数列{anbn}的邻差和数列{L''n}也是有界数列．
设数列{an}满足当n＞1时， an=
an-1
1+4an-1
 且 a1=
1
5
．则a7=（　　）

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