Question

（2013•河池模拟）若数列{a_n}满足前n项和为Tn=n2-

1

2

n．
（1）求数列{

an

2n

}的前n项和S_n；
（2）设数列{b_n}满足条件：b1=2，bn+1≥abn，求证：

1

2b1-3

+

1

2b2-3

+

1

2b3-3

+…+

1

2bn-3

＜2．

Answer 1

分析：（1）首先根据给出的数列的前n项和，求出数列{a_n}的通项，代入数列{

an

2n

}后利用分组和错位相减法求数列{

an

2n

}的前n项和S_n；
（2）把（1）中求出的a_n代入bn+1≥abn，把不等式依次循环得到bn+1-

3

2

≥2n(b1-

3

2

)，代入b₁后得到

1

2bn+1-3

≤

1

2n

，把要证的不等式左边利用此式放大后借助于等比数列求和即可得到要征得结论．

解答：（1）解：由Tn=n2-

1

2

n，
当n=1时，
a1=T1=1-

1

2

=

1

2

．
当n≥2时，
a_n=T_n-T_n-1
=n2-

1

2

n-[(n-1)2-

1

2

(n-1)]
=2n-

3

2

．
此式当n=1时成立．
所以，an=2n-

3

2

．
所以

an

2n

=

2n- 3 2

2n

=

n

2n-1

-

3

2n+1

．
所以数列{

an

2n

}的前n项和S_n=(

1

20

-

3

22

)+(

2

21

-

3

23

)+(

3

22

-

3

24

)+…+(

n

2n-1

-

3

2n+1

)
=(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)-3(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)．
令Qn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

①

1

2

Qn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

②
①-②得：

1

2

Qn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

．
所以，Qn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

．
又3(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)=3×

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

3

2

(1-

1

2n

)．
所以，Sn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

-

3

2

+

3

2n+1

=

5

2

-

1

2n-2

-

n

2n-1

+

3

2n+1

；
（2）证明：因为an=2n-

3

2

，
则bn+1≥abn=2bn-

3

2

，
即bn+1-

3

2

≥2(bn-

3

2

)≥22(bn-1-

3

2

)≥…≥2n(b1-

3

2

)，
又b₁=2，所以bn+1-

3

2

≥2n(2-

3

2

)=2n-1．
则

1

bn+1- 3 2

≤

1

2n-1

，即

1

2bn+1-3

≤

1

2n

．
所以，

1

2b1-3

+

1

2b2-3

+

1

2b3-3

+…+

1

2bn-3

≤1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

1

2n-1

＜2．

点评：本题考查了利用数列的前n项和求数列的通项公式，注意讨论n=1的情形，考查了数列的分组求和和错位相减法求和，训练利用放缩法求证不等式，解答此题（2）的关键在于其中的循环缩小的过程，是该题的难点所在．此题属难度较大的题型．