Question

设数列{a_n}满足当n＞1时，an=

an-1

1+4an-1

，且a1=

1

5

．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）试问a₁a₂是否是数列{a_n}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意数列为非0数列，递推关系式取倒数、即可判断数列{

1

an

}是首项为5，公差为4的等差数列．
（2）求出数列的通项公式，求出a₁a₂令它等于通项，求出n的值即可得到结论．

解答：解：（1）根据题意a1=

1

5

及递推关系有a_n≠0，因为an=

an-1

1+4an-1

，
取倒数得：

1

an

=

1

an-1

+4，即

1

an

-

1

an-1

=4(n＞1)
所以数列{

1

an

}是首项为5，公差为4的等差数列．
（2）由（1）得：

1

an

=5+4(n-1)=4n+1，an=

1

4n+1

又a1a2=

1

5

×

1

9

=

1

45

=

1

4n+1

⇒n=11．
所以a₁a₂是数列{a_n}中的项，是第11项．

点评：本题是基础题，考查数列的判断，数列通项公式的求法，数列中的项的判断，考查计算能力．