Question

设a为实数，函数f(x)＝x²＋｜x－a｜＋1，x∈R．

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的最小值．

 

Answer 1

答案：
提示：

命题意图：本题主要考查函数的概念、函数的奇偶性、函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想及逻辑思维能力． 解题思路：(1)分a＝0和a≠0两种情形加以讨论． 当a＝0时，函数f(x)＝(－x)2＋｜－x｜＋1＝f(－x)，此时，f(x)为偶函数． 当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2｜a｜＋1，f(－a)≠f(a)． 此时，函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数． (2)除掉绝对值符号，化为基本初等函数问题求解． ①当x≤a时，函数f(x)＝x2－x＋a＋1＝(x－)2＋a＋． 若a≤，则函数f(x)在(－∞,a]上单调递减，从而，函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1． 若a>，则函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f()＝＋a，且f()≤f(a)． ②当x≥a时，函数f(x)＝x2＋x－a＋1＝(x＋)2－a＋． 若a≤－，则函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(－)＝－a，且f(－)≤f(a)． 若a>－，则函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而，函数，f(x)在[a，＋∞)上的最小值为，f(a)＝a2＋1． 综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值是－a；当－<a≤时，函数f(x)的最小值为a2＋1；当a>时，函数f(x)的最小值为a＋． 评点：解本题的关键是分类，难点是除掉绝对值符号后，正确进行讨论，确立函数的单调性，进而求最小值．