题目内容
6．已知函数$f（x）=\frac{x}{1+{2{x^2}}}$，定义正数数列{an}，${a_1}=\frac{1}{2}$，an+12=2anf（an）（n∈N*）．（1）证明数列$\{\frac{1}{a_n^2}-2\}$是等比数列；
（2）令${b_n}=\frac{1}{a_n^2}-2$，Sn为数列{bn}的前n项和，求使${S_n}＞\frac{31}{8}$成立的最小n的值．
分析 （1）通过对an+12=2anf（an）=$\frac{2{{a}_{n}}^{2}}{1+2{{a}_{n}}^{2}}$两边同时取倒数可知$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$+1，整理可知$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$-2），进而可知数列$\{\frac{1}{a_n^2}-2\}$是以2为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知bn=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，利用等比数列的求和公式可知Sn=4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），从而${S_n}＞\frac{31}{8}$等价于4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）＞$\frac{31}{8}$，进而计算可得结论．
解答 （1）证明：依题意，an+12=2anf（an）=2an•$\frac{{a}_{n}}{1+2{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{2{{a}_{n}}^{2}}{1+2{{a}_{n}}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1+2{{a}_{n}}^{2}}{2{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$+1，
整理得：$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$-2），
又∵$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$-2=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{2}}$-2=2，
∴数列$\{\frac{1}{a_n^2}-2\}$是以2为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知${b_n}=\frac{1}{a_n^2}-2$=2•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴Sn=$\frac{\frac{1}{{2}^{-1}}•（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∵${S_n}＞\frac{31}{8}$，即4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）＞$\frac{31}{8}$，
整理得：$\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{1}{32}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$，
∴n＞5，
∴满足条件的n最小值为6．
点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
