Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0），e= ，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为 ，且 =λ （其中λ＞1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求实数λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，

椭圆的标准方程是 ．

（2）解：由 ，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），

若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．

当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．

由 ，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①

由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．

因为 ，

所以 = ，所以 ．

将 代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，

解得x= ．

又因为 =（1﹣x1，﹣y1）， =（x2﹣1，y2）， ，

，解得

【解析】（1）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由 ，可知A，B，F三点共线，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由 ，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．