Question

（2009•黄浦区二模）设α∈(0，

π

2

)，则

3+2sinαcosα

sinα+cosα

的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：由已知中α∈(0，

π

2

)，我们根据正弦型函数的性质，可以求出sinα+cosα的范围，根据同角三角函数的关系，我们可将

3+2sinαcosα

sinα+cosα

化为

2

sinα+cosα

+(sinα+cosα)，再根据基本不等式即可得到答案．

解答：解：∵α∈(0，

π

2

)
∴sinα+cosα∈（1，

2

]

3+2sinαcosα

sinα+cosα

=

2+(sinα+cosα) 2

sinα+cosα

=

2

sinα+cosα

+(sinα+cosα)≥2

2

当sinα+cosα=

2

时，

3+2sinαcosα

sinα+cosα

取最小值2

2

故答案为：2

2

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，辅助角公式，正弦型函数的图象和性质，基本不等式，其中根据同角三角函数的关系，将

3+2sinαcosα

sinα+cosα

化为

2

sinα+cosα

+(sinα+cosα)，为使用基本不等式创造条件，是解答本题的关键．