Question

已知函数f（x）=Asin（ωx-

π

6

）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α∈(0，

π

2

)，f（

α

2

）=

11

5

，求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得A+1=3，可得A=2，函数的最小正周期T=π，可得ω=2，可得函数f（x）的解析式；（2）由（2）可得sin（α-

π

6

）=

3

5

，结合α的范围可得cos（α-

π

6

）=

4

5

，而cosα=cos[（α-

π

6

）+

π

6

]=cos（α-

π

6

）cos

π

6

-sin（α-

π

6

）sin

π

6

，代入数据计算可得．

解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，∴最小正周期T=π，∴ω=2，
故函数f（x）的解析式为y=2sin（2x-

π

6

）+1
（2）∵f（

α

2

）=2sin（α-

π

6

）+1=

11

5

，
∴sin（α-

π

6

）=

3

5

，
∵0＜α＜

π

2

，∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
∴cos（α-

π

6

）=

4

5

，
∴cosα=cos[（α-

π

6

）+

π

6

]=cos（α-

π

6

）cos

π

6

-sin（α-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

点评：本题考查三角函数解析式的求解，涉及两角和与差的三角函数公式，属中档题．