Question

【题目】如图，在空间四边形中，， ，，，且平面平面.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的余弦值为，求.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或

【解析】分析：（1）由平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面，从而得证；

（2）过点在平面内作，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，直线与平面所成角为利用即可得解.

详解：

（1）证明：∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面，又∵平面，∴.

（2）解：过点在平面内作，

由（Ⅰ）知平面，平面，平面

∴，，

以为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，

由此，，设

则，.

设平面的法向量，则即

令，得

设直线与平面所成角为，

∵直线与平面所成角的余弦值为，即

则 =

解得 或，

∴ 或.