Question

【题目】已知圆的方程为：．

（1）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；

（2）圆上有一动点，，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

Answer 1

【答案】（1）或；（2），轨迹是一个焦点在轴上的椭圆

【解析】

（1）当直线垂直于轴时，可验证其满足题意，得到直线方程为；当直线不垂直于轴时，设直线为，利用垂径定理可求得圆心到直线距离，利用点到直线距离公式构造方程求得，从而得到直线方程；（2）设，利用向量坐标运算可得到，，根据在圆上，可代入整理得到点轨迹.

（1）当直线垂直于轴时，此时直线方程为

与圆的两个交点坐标为和，这两点的距离为，满足题意；

当直线不垂直于轴时，设其方程为：，即：

设圆心到此直线的距离为，则：，解得：

，解得：

此时直线方程为：

综上所述，所求直线方程为：或

（2）设点的坐标为

∵，，

∴ ，

∵ ∴，即

∴点的轨迹方程是，轨迹是一个焦点在轴上的椭圆