Question

5．已知y=a-bcos3x（b＞0）的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数y=-4asin（3bx）的周期和最值及相应的x的取值集合；
（2）求函数$f（x）=2sin（a\frac{π}{3}-2bx）$的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由正弦函数的最值，分别求得a和b的值，求得函数y=-2sin3x，利用正弦函数的性质，即可求得函数的周期，最值及相应的x的取值集合；
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（\frac{π}{6}-2x）=-2sin（2x-\frac{π}{6}）$，利用正弦函数的性质就看求得函数f（x）单调区间．

解答 解：（1）由题意知$\left\{{\begin{array}{l}{a+b=\frac{3}{2}}\\{a-b=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}}\right.$，∴y=-2sin3x，
∴$周期T=\frac{2π}{3}$，$当3x=2kπ+\frac{π}{2}，即x∈\left\{{\left.x\right|x=\frac{2kπ}{3}+\frac{π}{6}，k∈Z}\right\}时，{y_{min}}=-2$，
$当3x=2kπ-\frac{π}{2}，即x∈\left\{{\left.x\right|x=\frac{2kπ}{3}-\frac{π}{6}，k∈Z}\right\}时，{y_{max}}=2$
（2）由（1）知$f（x）=2sin（\frac{π}{6}-2x）=-2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
$令2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}则kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，
$令2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}则kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
函数的单调递增区间[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题考查正弦函数的性质，考查正弦函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．