Question

在△ABC中，边a，b是方程x2-2

3

x+2=0的两根，且2cos（A+B）=-1．
（1）求角C的度数；
（2）求边c的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知可得cos（A+B）=-

1

2

，结合三角形的内角和A+B+C=π及诱导公式可知CosC=

1

2

，从而可求C．
（2）根据方程的根与系数的关系可得

a+b=2 3 ab=2

，利用余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

，代入已知可求c，利用三角形的面积公式S△ABC=

1

2

absinC可求．

解答：解：（1）∵2cos（A+B）=-1，A+B+C=180°，
∴2cos（180°-C）=-1，∴cos（180°-C）=-

1

2

．（2分）
即cosC=

1

2

，0＜C＜180°，
∴∠C=60°（4分）

（2）∵a，b是方程x²-2

3

x+2=0两个根∴a+b=2

3

，ab=2（5分）
由余弦定理可知cosC=

a2+b-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

1

2

（8分）
∴

(2 3 )2-2×2-c2

2×2

=

1

2

，解设c=

6

（10分）
由正弦定理可知S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•2•

3

2

=

3

2

（12分）

点评：本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，方程的根与系数的关系，余弦定理，三角形的面积公式的综合运用，解决此类问题，不但要熟练掌握基本公式，基本运算，还要具备综合运用知识的推理的能力．