Question

在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A．B、C，且sin²A+sin²C-sinA•sinC=sin²B
（1）求角B的值；
（2）求2cos²A+cos（A-C）的范围．

Answer 1

分析：（1）把正弦定理代入已知条件可得 a²+c²-b²=ac，再由余弦定理求得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，由此可得 B的值．
（2）△ABC中，由B=

π

3

，可得 A+C=

2π

3

，即 C=

2π

3

-A，A-C=2A-

2π

3

．利用三角恒等变换化简 2cos²A+cos（A-C）为
sin（2A+

π

6

）+1．根据 0＜A＜

2π

3

，利用正弦函数的定义域和值域求得即2cos²A+cos（A-C）的范围．

解答：解析：（1）△ABC中，由正弦定理得sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

，
代入已知式，可得 a²+c²-b²=ac，
再由余弦定理求得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，∴B=

π

3

．
（2）△ABC中，A+B+C=π，又B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，即 C=

2π

3

-A，A-C=2A-

2π

3

．
∴2cos²A+cos（A-C）=2cos²A+cos（2A-

2π

3

）=cos2A+1+cos2A•（-

1

2

）+sin2A•

3

2

=

3

2

sin2A+

1

2

cos2A+1
=sin（2A+

π

6

）+1．
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

3π

2

，∴-1＜sin（2A+

π

6

）≤1，0＜sin（2A+

π

6

）+1≤2，
即2cos²A+cos（A-C）的范围是（0，2]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理以及正弦函数的定义域和值域，属于中档题．