Question

5．已知极坐标的极点与直角坐标系原点重合，极轴与x正半轴重合，曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线E的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=2t-5}\end{array}\right.$．
（1）求曲线C与曲线E的普通方程；
（2）曲线C上的点到曲线E的最大距离．

Answer 1

分析 （1）消去参数即可求出曲线C与曲线E的普通方程；
（2）利用平移切线法求出直线和椭圆相切的切线方程即可曲线C上的点到曲线E的最大距离．

解答 解：（1）消去参数α得曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
消去参数t得曲线E的普通方程为2x+y-1=0；
（2）设与曲线E的平行的直线方程为2x+y+c=0，
当直线2x+y+c=0与$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$相切时，
消去y得17x²+16cx+4c²-4=0，
则判别式△=（16c）²-4×17（4c²-4）=0，
整理得c²=17，即c=±$\sqrt{17}$，
即和椭圆相切的直线为2x+y±$\sqrt{17}$=0，
则2x+y+$\sqrt{17}$=0与直线2x+y-1=0的距离就是曲线C上的点的坐标为P（x，y），到曲线E的最大距离．
即d=$\frac{|\sqrt{17}+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{17}+1}{\sqrt{5}}$．

点评 本题主要考查参数方程和普通方程的转化，以及利用平移切线法求两曲线之间的距离问题．