Question

已知f（x）=log_a（x+1），点P是函数y=f（x）图象上的任意一点，点P关于原点的对称点Q形成函数y=g（x）的图象．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）当0＜a＜1时，解不等式2f（x）+g（x）≥0；
（3）当a＞1，且x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点Q（x，y）关于原点对称的点P（-x，-y）在函数f（x）图象上，把P（-x，-y）代入f（x），整理可得g（x）
（2）由2f（x）+g（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x）去掉对数符号后转化为整式不等式，从而求得x的取值范围；
（3）由（1）可令h（x）=2f（x）+g（x），loga

(x+1)2

1-x

≥m，令u=

(x+1)2

1-x

，先判断函数u（x）在（0，1]的单调性，进而求得函数的最小值h（x）_min，使得m≤h（x）_min

解答：解：（1）设Q（x，y），
∵P、Q两点关于原点对称，
∴P点的坐标为（-x，-y），又点p（-x，-y）在函数y=f（x）的图象上，
∴-y=log_a（-x+1），即g（x）=-log_a（1-x）…（2分）
（2）由2f（x）+g（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x）
∵0＜a＜1∴

x+1＞0 1-x＞0 (x+1)2≤1-x

∴x∈(-1，0]…（6分）
（3）由题意知：a＞1且x∈[0，1）时loga

(x+1)2

1-x

≥m恒成立．…（7分）
设u=

(x+1)2

1-x

=(1-x)+

4

1-x

-4，令t=1-x，t∈（0，1]，
∴u(t)=t+

4

t

-4t∈(0，1]
…（9分）
设0＜t₁＜t₂≤1∵u(t1)-u(t2)=(t1-t2)(1-

4

t1t2

)＞0
∴u（t）在t∈（0，1]上单调递减，
∴u（t）的最小值为1…（12分）
又∵a＞1，∴loga

(x+1)2

1-x

的最小值为0…（13分）
∴m的取值范围是m≤0…（14分）

点评：本题（1）小题主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M（a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a-x，2b-y）在函数y=g（x）的图象上．（3）小题主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）_max，m≤h（x）恒成立，则m≤h（x）_min