题目内容
f(x)=
cos2
x+sin
xcos
x．
（1）将f（x）化为Asin（ωx+?）+k(ω＞0，0＜φ＜
)的形式；
（2）写出f（x）的最值及相应的x值；
（3）若-
＜α＜
，且f(α)=
+
，求cos2α．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（1）将f（x）化为Asin（ωx+?）+k(ω＞0，0＜φ＜
| π |
| 2 |
（2）写出f（x）的最值及相应的x值；
（3）若-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
分析：（1）根据二倍角公式与两角和的正弦公式可得答案．
（2）利用x+
=2kπ-
，k∈Z，进而求出函数的最大值以及取最大值时x的数值．利用x+
=2kπ+
，k∈Z，进而求出函数的最小值以及取最小值时x的数值．
（3）由题意可得sin(α+
)=
，进而结合题意得到cos(α+
)=
，即可得到sin(2α+
)， cos(2α+
)，
所以得到cos2α=cos[(2α+
)-
]的数值．
（2）利用x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（3）由题意可得sin(α+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
所以得到cos2α=cos[(2α+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解答：解：（1）由题意可得：
f(x)=
cos2
x+sin
xcos
x
=
•
+
sinx
=sin(x+
)+
．
（2）当x+
=2kπ-
，k∈Z，即x=2kπ-
，k∈Z时，
则f（x）得到最小值-1+
．
当x+
=2kπ+
，k∈Z，即x=2kπ+
，k∈Z时，
则f（x）得到最大值1+
．
（3）由f(α)=sin(α+
)+
=
+
可得sin(α+
)=
，
∵-
＜α＜
，
∴0＜α+
＜
，
∴cos(α+
)=
，
∴sin(2α+
)=2sin(α+
)•cos(α+
)=
cos(2α+
)=2cos2(α+
)-1=
∴cos2α=cos[(2α+
)-
]
=cos(2α+
)cos
+sin(2α+
)sin
=
．
f(x)=
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 3 |
| 1+cosx |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=sin(x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（2）当x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
则f（x）得到最小值-1+
| ||
| 2 |
当x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
则f（x）得到最大值1+
| ||
| 2 |
（3）由f(α)=sin(α+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∵-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴0＜α+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴cos(α+
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
∴sin(2α+
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 24 |
| 25 |
cos(2α+
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 7 |
| 25 |
∴cos2α=cos[(2α+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=cos(2α+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=
24
| ||
| 50 |
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式与两角和的正弦公式，以及正弦函数的一个性质．
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