Question

设函数f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx，(ω＞0)，且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
（1）求ω的值；
（2）若x∈[-

π

3

，

5π

6

]，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数间的关系可将f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx转化为f（x）=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

，依题意2ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

，可求得ω；
（2）由x∈[-

π

3

，

5π

6

]⇒x+

π

3

∈[0，

7π

6

]⇒sin（x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，从而可求得f（x）_min．

解答：解：（1）f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx
=

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx+

3

2

…2分
=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

，…4分
∵2ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

，…6分
∴ω=

1

2

…7分
（2）∵f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

，x∈[-

π

3

，

5π

6

]，
∴x+

π

3

∈[0，

7π

6

]，…9分
∴-

1

2

≤sin（x+

π

3

）≤1，…11分
∴f（x）_min=

3

2

-

1

2

…12分

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的图象与性质确定其解析式，考查复合函数的单调性，属于中档题．