Question

已知f(x)=3cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a(ω＞0)，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

（1）求ω的值，
（2）若当x∈[

π

6

，

5π

12

]时，f（x）的最小值为2，求a的值，
（3）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的递减区间．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期求出ω的值，
（2）通过x∈[

π

6

，

5π

12

]，求出相位的范围，利用f（x）的最小值为2，即可求a的值，
（3）通过函数的解析式，利用正弦函数的单调减区间求出函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的递减区间．

解答：解：（1）f(x)=3cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a
=

1

2

（3+3cos2ωx）+

3

2

sin2ωx+a
=

3

sin（2ωx+

π

3

）+a+

3

2

，
因为函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，
所以函数的周期为：π．
所以ω=

2π

2π

=1，ω的值为1．
（2）因为x∈[

π

6

，

5π

12

]，所以2x+

π

3

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∵f（x）的最小值为2，
∴-

3

2

+a+

3

2

=2，∴a=

1

2

+

3

2

．
（3）由（1）可知函数f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+a+

3

2

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
所以在区间[0，

π

2

]上的递减区间为：[

π

12

，

π

2

]．

点评：本题考查二倍角公式的应用，两角和的正弦函数，正弦函数的单调性，考查计算能力．