Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+，且f（）=0，当x＞时，f（x）＞0．给出以下结论

①f（0）=-

②f（-1）=-

③f（x）为R上减函数

④f（x）+为奇函数；

⑤f（x）+1为偶函数

其中正确结论的有（　　　　）个

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①，由题意和x，y的任意性，取x=y=0代入可得f（0）；

②，取x=，y=-，可得f（-），取x=y=-代入可得f（-1）；

③，由①②知f（0）＞f（-1），f（x）不为R上的减函数；

④，令y=-x代入可得f（x）++f（-x）+=0；

⑤，f（）+1≠f（-）+1，可得f（x）+1不为偶函数．

对于①，由题意和x，y的任意性，取x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+，可得f（0）=f（0）+f（0）+，则f（0）=-，故①正确；

对于②，取x=，y=-，可得f（0）=f（）+f（-）+，得f（-）=-1，取x=y=-，可得f（-1）=f（-）+f（-）+=-，故②正确；

对于③，由①②知f（0）＞f（-1），∴f（x）不为R上的减函数，故③错；

对于④，令y=-x，代入可得f（0）=f（x）+f（-x）+，则f（x）++f（-x）+=0，即f（x）+为奇函数，故④正确；

对于⑤，∵f（）+1=1，f（-）+1=0，∴f（x）+1=f（-x）+1不恒成立，则f（x）+1不为偶函数，故⑤错．

∴其中正确结论的有3个．

故选：C．