题目内容

已知下列命题：
（1）θ是第二象限角；
（2）sin $数学公式$ +cos $数学公式$ =- $数学公式$ ；
（3）tan $数学公式$ = $数学公式$ ；
（4）tan $数学公式$ = $数学公式$ ；
（5）sin $数学公式$ -cos $数学公式$ =- $数学公式$
试以其中若干（一个或多个）命题为条件，然后以剩余命题中的若干命题为结论，组成新命题，并证明之．

解：以（1）（2）为条件，以（3）为结论．
证明：因为θ是第二象限角，
所以kπ+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z．①
又sin $\text{[math]}$ +cos $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
所以2kπ+π＜ $\text{[math]}$ ＜2kπ+ $\text{[math]}$ π，k∈Z．②
由①②可知2kπ+ $\text{[math]}$ π＜ $\text{[math]}$ ＜2kπ+ $\text{[math]}$ π．
又由sin $\text{[math]}$ +cos $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，得sin $\text{[math]}$ •cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．分子分母同除以sin $\text{[math]}$ •cos $\text{[math]}$ 可化得，
所以12tan² $\text{[math]}$ -25tan $\text{[math]}$ +12=0．
解得tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （舍），或tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：此题可先假设（1）θ是第二象限角；（2）sin $\text{[math]}$ +cos $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 正确，证明（3）tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 结论正确，我们可以利用同角公式求解，然后即可证明之．
点评：此题主要考查命题的真假判断与应用及三角函数中同角关系这一知识点，此题的关键是明确题设和结论的含义，然后问题可解．