Question

已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，求证：恒成立..

Answer 1

(1)单调减区间为，单调增区间为，(2)详见解析.

试题分析：(1)求函数单调区间，有四个步骤.一是求定义域，二是求导数为零的根，由得，三是分区间讨论导数正负，当时，当时，四是根据导数正负写出单调区间：单调减区间为，单调增区间为，.(2)证明不等式恒成立问题一般化为函数最值问题.可以直接求函数的最小值，也可将与分离，求函数的最小值.两种思路都简洁，实质都一样，就是求最小值.
试题解析：解：
(1)定义域为                  1分
                  2分
令，得                  3分
与的情况如下：

		0
	↘	极小值	↗

                5分
所以的单调减区间为，单调增区间为             6分
(2)证明1：
设，                  7分
               8分
与的情况如下：

		1
		0
	↘	极小值	↗

所以，即
在时恒成立，           10分
所以，当时，，
所以，即，
所以，当时，有.            13分
证明2：
令                 7分
                 8分
令，得                 9分
与的情况如下：

		0
	↘	极小值	↗

          10分
的最小值为         -11分
当时，，所以
故              -12分
即当时，.                  13分