Question

已知函数．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）在（2）条件下，解不等式：．

Answer 1

解：（1）对函数求导数，得f'（x）=-=，
∵（2^x+1）²＞0，2^x＞0，ln2＞0
∴f'（x）＞0在其定义域R上恒成立
∴不论a为何实数f（x）总是R上的增函数；
（2）∵f（x）定义域为R，
∴若函数为奇函数时，f（0）=a-=0，即a=
当a=时，=，
∴f（-x）===-f（x），符合题意．
因此，当a=时，f（x）为奇函数；
（3）在（2）条件下，可得函数为奇函数且是R上的增函数
∴不等式，即
可得，即，解之得，
所以原不等式的解集为：{x|}．
分析：（1）对函数求导数，得f'（x）=，通过讨论可得函数的导数在R上恒为正数，因此函数f（x）不论a为何实数总是为增函数；
（2）先用奇函数在R上有定义时，f（0）=0，解得a=，再利用奇函数的定义验证，得到当a=时，f（x）为奇函数，符合题意；
（3）在（2）条件下，可得函数为奇函数且是R上的增函数，将原不等式变形为：，可得，解之即得原不等式的解集为：{x|}．
点评：本题借助于一个含有指数式的分式函数，研究了它的单调性与奇偶性，着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．