Question

已知sin

β

2

=

5

5

，cos(a+β)=

5

13

．a∈(0，

π

2

)，β∈(0，π)．求cosβ和sinβ．

Answer 1

分析：先根据二倍角公式求得cosβ的值，进而利用同角三角函数的基本关系和β的范围求得sinβ的值，进而根据α，β和kcos（α+β）的值确定α+β的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，进而利用两角和公式求得cosβ的值．

解答：解：∵sin

β

2

=

5

5

，
∴cosβ=1-2sin²

β

2

=

3

5

∵β∈（0，π），
∴sinβ=

1- 9 25

=

4

5

∵0＜α＜

π

2

，
∴0＜α+β＜

3π

2

∵cos（α+β）=

5

13

＞0
∴0＜α+β＜

π

2

∴sin（α+β）=

1- ( 5 13 ) 2

=

12

13

，
∴sinα=sin[α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

16

65

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，二倍角公式的应用和同角三角函数的基本关系的应用．考查了学生的运算能力和基础知识的综合运用．