题目内容
（2012•海口模拟）焦点在x轴上，离心率为
的椭圆经过点（
，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1，l2分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
| ||
| 2 |
| 6 |
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1，l2分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设椭圆方程，利用离心率为
的椭圆经过点（
，1），建立方程，从而可求椭圆方程；．
（2）问题等价于
+
=λ，即
+
是否是定值问题，分类讨论，利用韦达定理求得弦长，化简，即可得到结论．
| ||
| 2 |
| 6 |
（2）问题等价于
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
解答：解：（1）设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0），则
∵离心率为
的椭圆经过点（
，1）．
∴
=
，
+
=1，
∴a2=8，b2=4，故椭圆方程是
+
=1．
（2）问题等价于
+
=λ，即
+
是否是定值问题．
椭圆的焦点坐标是（±2，0），不妨取焦点（2，0），当直线AB的斜率存在且不等于零时，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是y=k（x-2），
代入椭圆方程并整理得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=
．
根据弦长公式，|AB|=
×
=
以-
代换k，得|CD|=
=
所以
+
=
=
即|AB|+|CD|=
|AB|•|CD|．
当直线AB的斜率不存在或等于零时，|AB|，|CD|一个是椭圆的长轴长度，一个是通径长度，
此时
+
=
+
=
，即|AB|+|CD|=
|AB|•|CD|．
综上所述，故存在实数λ=
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵离心率为
| ||
| 2 |
| 6 |
∴
| a2-b2 |
| a2 |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
∴a2=8，b2=4，故椭圆方程是
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）问题等价于
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
椭圆的焦点坐标是（±2，0），不妨取焦点（2，0），当直线AB的斜率存在且不等于零时，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是y=k（x-2），
代入椭圆方程并整理得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
| -8k2 |
| 1+2k2 |
| 8k2-8 |
| 1+2k2 |
根据弦长公式，|AB|=
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
4
| ||
| 1+2k2 |
以-
| 1 |
| k |
4
| ||||
1+
|
4
| ||
| k2+2 |
所以
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 3(k2+1) | ||
4
|
3
| ||
| 8 |
即|AB|+|CD|=
3
| ||
| 8 |
当直线AB的斜率不存在或等于零时，|AB|，|CD|一个是椭圆的长轴长度，一个是通径长度，
此时
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 1 | ||
4
|
2
| ||
| 8 |
3
| ||
| 8 |
3
| ||
| 8 |
综上所述，故存在实数λ=
3
| ||
| 8 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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