题目内容

设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n+2= $数学公式$ （n≥1，n∈N^*）．
（1）求证：数列{ $数学公式$ }是常数列；
（2）求证：当n≥2时，2＜a_n²-a_n-1²≤3；
（3）求a₂₀₁₁的整数部分．

解：（1）易知，对一切n≥1，a_n≠0，由a_n+2= $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
依次利用上述关系式，可得
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =…= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1，
从而数列 $\text{[math]}$ 是常数列．（4分）
（2）由（1）得a_n+1=a_n+ $\text{[math]}$ ．
又a₁=1，∴可知数列{a_n}递增，则对一切n≥1，有a_n≥1成立，从而0＜a_n²≤1．（6分）
当n≥2时，a_n²=a_n-1²+ $\text{[math]}$ +2，
于是a_n²-a_n-1²= $\text{[math]}$ +2，
∴2＜a_n²-a_n-1²≤3．（8分）
（3）当n≥2时，a_n²=a_n-1²+ $\text{[math]}$ +2，
∴a=1，a₂²=4，则当n≥3时，
a_n²＞2n．
a₂₀₁₁²＞4 022＞3 969=63²，（10分）
a₂₀₁₁²= $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ +2（2011-1）+1
=4 022+ $\text{[math]}$ ＜4 022+ $\text{[math]}$ ×33
=4 022+ $\text{[math]}$ ×33
＜4 022+ $\text{[math]}$ （19+4+10）＜4 039＜4 096=64²．（14分）
∴63＜a₂₀₁₁＜64，即a₂₀₁₁的整数部分为63．（16分）
分析：（1）对 $\text{[math]}$ N^*）变形化简得 $\text{[math]}$ ．将其迭代，利用a₁=1，a₂=2可以得到a_n+1与a_n之间的递推关系式；
（2）由于数列递增，所以对一切n≥1，有a_n≥1成立，从而 $\text{[math]}$ ．又当n≥2时， $\text{[math]}$ ，所以有 $\text{[math]}$ ，从而问题得证．
（3）当n≥2时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$
又当n≥3时，有a_n²＞2n，从而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可解．
点评：本题主要考查数列与不等式的综合，技巧性强，难度大．