Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）（y₁≤0，i=1，2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）根据抛物线的定义，利用|PF|=4，求得P即可；
（II）根据条件判定直线PA、PB的斜率关系，求出直线AB的斜率，再设出直线AB的方程，根据三角形PAB面积最大时的条件，求出三角形PAB面积的最大值，及最大值时直线AB的方程．

解答： 解：（I）∵|PF|=4，∴x_P+

p

2

=4，
∴P点的坐标是（4-

p

2

，4），
∴有16=2P（4-

p

2

）⇒p=4，
∴抛物线方程是y²=8x．
（II）由（I）知点P的坐标为（2，4），
∵∠APB的角平分线与x轴垂直，∴PA、PB的倾斜角互补，即PA、PB的斜率互为相反数，
设PA的斜率为k，则PA：y-4=k（x-2），k≠0
与抛物线方程联立，可得y²-

8

k

y-16+

32

k

=0，方程的解为4、y₁，
由韦达定理得：y₁+4=

8

k

，即y₁=

8

k

-4，同理y₂=-

8

k

-4，
又y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
∴k_AB═-1，
设AB：y=-x+b，与抛物线方程联立可得y²+8y-8b=0，
由韦达定理得：y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
|AB|=

1+1

|y₁-y₂|=8

b+2

，点P到直线AB的距离d=

|6-b|

2

，
S_△ABP=2

2

×

(b+2)(6-b)2

，设b+2=t
则（b+2）（b²-12b+36）=t³-32t-64-（3t-8）（t-8），
∵△=64+32b＞0⇒b＞-2，y₁•y₂=-8b≥0⇒b≤0，∴-2＜b≤0，
设t=b+2∈（0，2]，
则（b+2）（b²-12b+36）=t³-16t²+64t=f（t），
f′（t）=3t²-32t-64=（3t-8）（t-8），
由t∈（0，2]知f′（t）＞0，∴f（t）在（0，2]上为增函数，
∴f（t）_最大=f（2）=72，
∴△PAB的面积的最大值为2

2

×

72

=24，
此时b=0，直线AB的方程为x+y=0．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．