Question

7．如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆，如此下去，求前n个内切圆的面积和．

Answer 1

分析 设第n个正三角形的内切圆的半径为a_n，可得数列{a_n}是以$\frac{\sqrt{3}}{6}$a为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，前n个内切圆的面积和S_n=π（a₁²+a₂²+…+a_n²）=πa₁²[1+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{4}$）²+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）²]，由等比数列的求和公式计算可得．

解答 解：设第n个正三角形的内切圆的半径为a_n，
∵从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的$\frac{1}{2}$，
每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的$\frac{1}{2}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$atan30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，a₂=$\frac{1}{2}$a₁，…a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，
∴数列{a_n}是以$\frac{\sqrt{3}}{6}$a为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=$\frac{\sqrt{3}}{6}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$a，
设前n个内切圆的面积和为S_n，
则S_n=π（a₁²+a₂²+…+a_n²）=πa₁²[1+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{4}$）²+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）²]
=πa₁²[1+$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{4}$）²+…+（$\frac{1}{4}$）^n-1]=$\frac{4}{3}$×$\frac{{a}^{2}}{12}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）π=$\frac{{a}^{2}}{9}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）π

点评 本题考查等比数列的求和公式，从实际问题中抽象出等比数列是解决问题的关键，属中档题．