Question

15．已知函数f（x）=x²+bx+c，且f[f（x）]=0有且仅有唯一的实根，则（　　）

• A． c≥0
• B． c≤0
• C． c不确定
• D． 这样的函数f（x）不存在

Answer 1

分析 将f（x）配方，求得f（f（x））的解析式，由题意可得y=f（f（x））的图象与x轴的交点为（-$\frac{b}{2}$，0），即有（c-$\frac{{b}^{2}}{4}$+$\frac{b}{2}$）²+c-$\frac{{b}^{2}}{4}$=0，通过b的取值，即可判断c的范围．

解答 解：函数f（x）=x²+bx+c=（x+$\frac{b}{2}$）²+c-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
即有f（f（x））=[（x+$\frac{b}{2}$）²+c-$\frac{{b}^{2}}{4}$+$\frac{b}{2}$]²+c-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
由于f[f（x）]=0有且仅有唯一的实根，
则y=f（f（x））的图象与x轴的交点为（-$\frac{b}{2}$，0），
即有（c-$\frac{{b}^{2}}{4}$+$\frac{b}{2}$）²+c-$\frac{{b}^{2}}{4}$=0，
若b=0，则c=0或-1（舍去）；
若b=2，则c²+c-1=0，解得c=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
检验c=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，方程只有一解-1；
c=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$时，方程有三解，舍去．
综上可得B，C，D错；A正确．
故选A．

点评 本题考查二次函数的性质和运用，考查二次方程的根的分布，属于中档题．