Question

（本小题满分15分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，试分别解答以下两小题.
（ⅰ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（ⅱ）若是两个不相等的正数，且，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）当时，增区间是；当时，增区间是，递减区间是（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）

设，则t>0，，,令，得，在（0，1）单调递减，在单调递增，.

试题分析：（Ⅰ）f(x)的定义域为，  ，………………1分
令，，
①当时，在恒成立，f(x)递增区间是；………3分
②当时，,又x>0, 递增区间是，递减区间是.         ………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ）
设,
化简得：,  ………………7分
,
，在上恒成立，在上单调递减，
所以，,即的取值范围是 .………………9分
（ⅱ），在上单调递增,

,   ……11分
设，则t>0，，,
令，得，在（0，1）单调递减，在单调递增,………13分

，.        ………………………14分
点评：本题第一问中求单调区间需要对参数分情况讨论从而确定导数的正负；第二问中关于不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题