Question

已知函数h（x）=a^x，（a＞1），g（x）=，f（x）=h（x）+g（x）
①写出f（x）的解析式及定义域；
②求证函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
③求证方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

解：①∵h（x）=a^x，（a＞1），g（x）=，f（x）=h（x）+g（x）
∴（a＞1），
定义域（-∞，-1）∪（-1，+∞）…
证明：②设-1＜x₁＜x₂，
则=，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴，∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；…
③假设x₀是方程f（x）=0的负数根，且x₀≠-1，则，
即，①
当-1＜x₀＜0时，0＜x₀+1＜1，∴，∴，
而由a＞1知，∴①式不成立；
当x₀＜-1时，x₀+1＜0，∴，∴，
而，∴①式不成立．
综上所述，方程f（x）=0没有负数根．…
分析：①根据已知中f（x）=h（x）+g（x），可得函数的解析式，进而根据使函数解析式有意义的原则，可求出函数的定义域；
②-1＜x₁＜x₂，做差判断f（x₁）与f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义，可判断出函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
③假设x₀是方程f（x）=0的负数根，且x₀≠-1，则，分当-1＜x₀＜0时和当x₀＜-1时，讨论其存在性，最后综合讨论结果，可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数的解析式，函数的定义域，函数的单调性，函数的零点，是函数较为综合的应用，难度比较大，属于难题．