Question

已知函数h（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[1，2]上有最大值2和最小值0．设f(x)=

h(x)

2x

．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=t-2在x∈[

1

2

，3]有实根，求实数t的取值范围；
（III）若不等式f（2^x）-t•2^x≤0在x∈[-1，2]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数h（x）在[1，2]上单调递增，利用函数h（x）在区间[1，2]上有最大值2和最小值0，建立方程，即可求得a、b的值；
（Ⅱ）方程f（x）=t-2在x∈[

1

2

，3]有实根，等价于t=x+

1

x

在x∈[

1

2

，3]有实根，确定函数的单调性，即可求实数t的取值范围；
（III）不等式f（2^x）-t•2^x≤0在x∈[-1，2]恒成立，等价于t≥（

1

2x

）²-

2

2x

+1在x∈[-1，2]恒成立，求出右边对应的最大值，即可确定实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数h（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）的对称轴为x=1且图象开口向上
∴函数h（x）在[1，2]上单调递增，
∵函数h（x）在区间[1，2]上有最大值2和最小值0，
∴

h(1)=0 h(2)=2

，∴

-a+1+b=0 1+b=2

∴a=2，b=1；
（Ⅱ）方程f（x）=t-2在x∈[

1

2

，3]有实根，等价于t=x+

1

x

在x∈[

1

2

，3]有实根，
∵t=x+

1

x

在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增
∴t=x+

1

x

∈[2，

10

3

]；
（III）不等式f（2^x）-t•2^x≤0在x∈[-1，2]恒成立，等价于t≥（

1

2x

）²-

2

2x

+1在x∈[-1，2]恒成立，
令m=

1

2x

，则m∈[

1

4

，2]，t≥m²-2m+1在m∈[

1

4

，2]恒成立
令g（m）=m²-2m+1=（m-1）²，函数的对称轴为m=1，∴g（m）在m∈[

1

4

，2]上的最大值为1
所以实数t的取值范围为t≥1

点评：本题考查函数的单调性与最值，考查函数的值域，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．