Question

已知函数h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e为自然对数）
（1）求F（x）=h （x）-φ（x） 的极值．
（2）设G（x）=h（x）-φ′（x）•

a

2e

（常数a＞0），当x＞1时，求函数G（x）的单调区间，并在极值存在处求极值．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．
（2）由题设条件知G（x）=x²+

2e

x

•

a

2e

=x²+

a

x

，故G′（x）=

2(x3- a 2 )

x2

．令G′（x）=0，得x=

3	a 2

，由此能求出F（x）的单调区间与极值．

解答：解：（1）∵F（x）=x²-2elnx（x＞0）
∴F′（x）=2x-2e•

1

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

当0＜x＜

e

时，F′（x）＜0，此时F（x）递减，
当x＞

e

时，F′（x）＞0，此时F（x）递增
当x=

e

时，F（x）取极小值为0      …（6分）
（2）可得G（x）=x²+

2e

x

•

a

2e

=x²+

a

x

，
G′（x）=2x-

a

x2

=

2(x3- a 2 )

x2

，…（9分）
当0＜x＜

3	a 2

时，G（x）递减，当x＞

3	a 2

时，G（x）递增．
由于x＞1，
若

3	a 2

≤1时，即0＜a≤2，G（x）在（1，+∞）递增，无极值．
若

3	a 2

＞1时，即a＞2，G（x）在（1，

3	a 2

）递减，在（

3	a 2

，+∞）递增．
所以x=

3	a 2

处有极小值，极小值为

3

2

3	2a2

…（12分）．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．