Question

【题目】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a1=1，且 an+1=2Sn+1，n∈N ．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令 c=log3a2n ， bn= ，记数列{bn}的前 n 项和为Tn ， 若对任意 n∈N ， λ＜Tn 恒成立，求实数 λ 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn+1，n∈N ， n≥2时，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an ， 即an+1=3an ． n=1时，a2=2a1+1=3=3a1 ， 满足上式．
∴数列{an}是等比数列，∴an=3n﹣1 ．
（II） c=log3a2n= =2n﹣1．
bn= = = ，
数列{bn}的前 n 项和Tn=
=
∵对任意 n∈N ， λ＜Tn 恒成立，
∴λ＜ = ．
∴实数 λ 的取值是
【解析】（I）an+1=2Sn+1，n∈N ， n≥2时，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an ， 即an+1=3an ． n=1时，a2=2a1+1=3，满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出．（II） c=log3a2n= =2n﹣1．bn= = = ，利用“裂项求和”及其数列的单调性即可得出．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．