题目内容
已知数列{an}满足an=2an-1+2n（n≥2），且a1=2．
（Ⅰ）设bn=
，求证数列{bn}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
（Ⅰ）设bn=
| an | 2n |
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
分析：（I）在等式两边同除以2n，利用等差数列的定义即可证得结论；
（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
解答：解：（I）∵an=2an-1+2n(n≥2)
∴
=
+1
即
-
=1
∵bn=
∴bn-bn-1=1
∴数列{bn}是公差为1，首项为1的等差数列；
（II）bn=
=1+(n-1)×1=n，∴an=n×2n
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+n×2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减得：-Sn=21+22+23+…+2•n-n×2n+1，
∴Sn=（n-1）•2n+1+2
∴
| an |
| 2n |
| an-1 |
| 2n-1 |
即
| an |
| 2n |
| an-1 |
| 2n-1 |
∵bn=
| an |
| 2n |
∴bn-bn-1=1
∴数列{bn}是公差为1，首项为1的等差数列；
（II）bn=
| an |
| 2n |
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+n×2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减得：-Sn=21+22+23+…+2•n-n×2n+1，
∴Sn=（n-1）•2n+1+2
点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定，考查错位相减法求数列的和，确定数列的通项是关键，属于中档题．
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