Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sin（ωx+φ）（ω＞0，-\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}）$的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，且图象上最高点到相邻的函数零点的水平距离为$\frac{π}{4}$．
（1）求ω和φ的值；
（2）若$f（\frac{α}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}（\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}）$，求$sin（α+\frac{π}{2}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）的最小正周期T=π，可得ω=2，再由对称性和范围可得$φ=-\frac{π}{6}$；
（2）由（1）易得$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{4}$，由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos（α-$\frac{π}{6}$），由两角和的余弦公式可得．

解答 解：（1）∵f（x）图象上最高点到相邻的函数零点的水平距离为$\frac{π}{4}$，
∴f（x）的最小正周期T=π，由周期公式可得ω=2，
又∵f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，
∴$2•\frac{π}{3}+φ=\frac{π}{2}+kπ（k∈z）$，
∵$-\frac{π}{2}≤φ≤\frac{π}{2}$，∴$φ=-\frac{π}{6}$；
（2）由（1）得$f（\frac{α}{2}）=\sqrt{3}sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{4}$，
由$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$得$0＜α-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$．
∴$cos（α-\frac{π}{6}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（α-\frac{π}{6}）}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴$sin（α+\frac{π}{2}）=cosα$=$cos[（α-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]$
=$cos（α-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}-sin（α-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$
=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{4}•\frac{1}{2}$=$\frac{{3\sqrt{5}-1}}{8}$．

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，涉及同角三角函数基本关系，属中档题．