Question

【题目】如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．

（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；

（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．

Answer 1

【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．

【解析】

（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．

（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．

（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，

建立空间直角坐标系．

由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．

易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．

得，，

设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，

则，得，

即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．

（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.