Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求动点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）过椭圆C₁的焦点F₂作直线l与曲线C₂交于A、B两点，当l的斜率为

1

2

时，直线l₁上是否存在点M，使AM⊥BM？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

3

⇒2a²=3b²，x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切⇒b²=2，从而可求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F₂（1，0）⇒l₁：x=-1，设M（x，y），由|MP|=|MF₂|⇒|x-(-1)|=

(x-1)2+y2

化简即得点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．
（Ⅲ）设A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)，假设直线l₁：x=-1上存在点M（-1，m），使得AM⊥BM，直线l的方程x-2y-1=0与y²=4x联立，得y²-8y-4=0，利用韦达定理与则

AM

•

BM

=0即可求得点M的坐标．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

3

3

，
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，
∴2a²=3b²
∵直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切，
∴

2

2

=b，b=

2

，b2=2，
∴a²=3．
∴椭圆C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F₂（1，0），所以l₁：x=-1，设M（x，y），
∵|MP|=|MF₂|，
∴|x-(-1)|=

(x-1)2+y2

化简得：y²=4x，
∴点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．
（Ⅲ）∵直线l的方程为x-2y-1=0，代入y²=4x，得y²-8y-4=0．
由韦达定理得y₁+y₂=8，y₁y₂=-4，设A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)，
设直线l₁：x=-1上存在点M（-1，m），使得AM⊥BM，则

AM

•

BM

=0，
∴(-1-

y 2 1

4

，m-y1)•(-1-

y 2 2

4

，m-y2)=0，
∴16m²-16m（y₁+y₂）+4（y₁²+y₂²）+y₁²y₂²+16y₁y₂+16=0，
∴m²-8m+16=0，解得m=4，
∴准线上存在点M（-1，4），使AM⊥BM．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查待定系数法与定义法求圆锥曲线的方程，难点在于（Ⅲ）直线与圆锥曲线的综合应用，方程组的联立，韦达定理的使用，向量的坐标运算，复杂的化简与计算，属于难题．