Question

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．
现有如下函数：
①f（x）=x³；
②f（x）=2^-x；
③；
④f（x）=x+sinx．
则存在承托函数的f（x）的序号为________．（填入满足题意的所有序号）

Answer 1

②
分析：函数g（x）=kx+b（k，b为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点），若函数的值域为R，则显然不存在承托函数．
解答：函数g（x）=kx+b（k，b为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）
①f（x）=x³的值域为R，所以不存在函数g（x）=kx+b，使得函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方，故不存在承托函数；
②f（x）=2^-x＞0，所以y=A（A≤0）都是函数f（x）的承托函数，故②存在承托函数；
③∵的值域为R，所以不存在函数g（x）=kx+b，使得函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方，故不存在承托函数；
④求导函数f′（x）=1+cosx，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）=x+sinx的值域为R，所以不存在函数g（x）=kx+b，使得函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方，故不存在承托函数；
故答案为：②
点评：本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，对于不正确的命题，举反例即可，有一定的综合性．