Question

过双曲线M；x²-=1（b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的渐近线分别交于B、C两点，且=，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据双曲线方程，得渐近线方程为y=-bx或y=bx．设直线l的方程为y=x+1，与渐近线方程联解分别得到B、C的横坐标关于b的式子．由=得B为AC的中点，利用中点坐标公式建立关于b的方程并解之可得b=3，由此算出c=，即可得到该双曲线的离心率．
解答：解：由题可知A（-1，0）所以直线l的方程为y=x+1
∵双曲线M的方程为x²-=1，∴两条渐近线方程为y=-bx或y=bx
由y=x+1和y=-bx联解，得B的横坐标为x_B=-
同理可得C的横坐标为x_C=
∵=，∴B为AC中点，可得2x_B=x_A+x_C，
即-•2=-1+，解之得b=3（舍去b=0）
因此，c==，可得双曲线的离心率e==
故选：A
点评：本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A的直线相交于B、C两点且B为AC的中点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．